Noción de Lógica matemática y tablas de verdad.

matematicas

El lenguaje informativo está constituido por proposiciones o sentencias, vale decir, por estructuras de signos que tienen la propiedad de ser verdaderas o falsas.

Las proposiciones o sentencias se dividen en dos tipos: proposiciones fácticas (esto es, referentes a hechos) o empíricas, como “la mesa es verde” y proposiciones analíticas, que son tautologías (es decir, expresiones en las cuales el predicado dice lo mismo que el sujeto, o, en otros términos, que no pueden ser falsas) como “el triángulo es una figura de tres lados”. Estas proposiciones analíticas no dan ningún conocimiento nuevo, y su verdad no depende de los hechos, sino solamente de principios lógicos. Todas las proposiciones de la lógica y de la matemática son, según los empiristas lógicos (y gran cantidad de los lógicos modernos), proposiciones analíticas, y, por ende, tautológicas. Las proposiciones fácticas se fundan en la experiencia, en las sensaciones. Si las leyes de la lógica son independientes de la experiencia, es decir, a priori, ello es así porque no son más que tautológicas; la lógica, en rigor, no se refiere más que a la formación cómo funciona el lenguaje, o, dicho de otra manera, no es más que el conjunto de reglas sintácticas de un determinado lenguaje.

Por otro lado, las proposiciones se dividen en simples o atómicas -como “Juan es un campesino”, o bien “María viene de París”-, y en complejas o moleculares -por ejemplo “Juan es un campesino y María viene de París-, las segundas, pues, contienen términos que conectan a las proposiciones simples que las constituyen, y son siempre reductibles, en definitiva, a proposiciones atómicas. Los términos que enlazan unas proposiciones con otras se llaman conectivas. La verdad de la proposición molecular resultante puede determinarse en función de la verdad de sus componentes. Si consideramos como molecular la negación de una atómica, tendremos que, sí la proposición “Juan es un campesino” es verdadera, su negación, “Juan no es campesino”, resultará falsa, e inversamente. Simbolizando esta proposición mediante “p” y la negación mediante “-“, se podrá construir la siguiente tabla de verdad de esta conectiva:

p

-p

V

F

F

V

En la columna de la izquierda se han considerado todos los casos posibles, porque la proposición no puede ser sino verdadera (V) o falsa (F), a la derecha se señalan los correspondientes valores  de “-p”, es decir, la negación, de modo que si “p” es verdadera, “-p” tendrá que ser falsa, y si “p” es falsa, “-p” tendrá que ser verdadera. La tabla representa a la vez la definición de la conectiva.

Otra conectiva es la conjunción, es decir, en español, la “y”, que se simboliza con un punto: “.”. Aquí sólo puede haber verdad de la proposición molecular en el caso de que las dos (o más) proposiciones atómicas sean verdaderas; en todos los demás caso , aquélla será falsa. Considerando todas las conbinaciones posibles de los valores de “p” (“Juan es un campesino”) y de “q” (que aquí simbolizará a “María viene de París”), se tendrá la siguiente table de verdad de la conjunción:

p q p.q
V V V
F V F
V F F
F F F

La conectiva “o” tiene en español dos sentidos diferentes. Cuando se dice: “voy al cine o me quedo en casa”, es obvio que una cosa excluye a la otra; pero, en cambio, al decir: “compraré un reloj barato o pagadero en cien cuotas”, las dos son compatibles. Por tanto, se distingue la disyunción inclusiva -o lo uno o lo otro, o los dos- de la disyunción exclusiva -o lo uno o lo otro pero no los dos-. La disyunción inclusiva se simboliza con “∨” y su tabla de verdad es la siguiente:

p q p∨q
V V V
F V V
V F V
F F F

En cuanto a la disyunción exclusiva, simbolizada por “ω”, su tabla de verdad es:

p q q
V V F
F F V
V V V
F F F

Otra conectiva es el condicional, que se representa con  “→”. así, pq, lo cual se lee “si p, entonces q”, esto es, si “p” es verdadera, entonces también “q” es verdadera. Por ejemplo “Si llueve, la calle se moja” La tabla de verdad del condicional es la siguiente:

p q p→q
V V V
F V V
V F F
F F V

Se observará que sólo en el tercer caso el condicional es falso, esto es, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, pues lo único que contradice al condicional es que, dada la condición, no se cumpla la consecuencia (en el ejemplo sería “llueve, la calle no se moja”). Si el antecedente es falso, la proposición compleja será verdadera (“si no llueve, la calle se moja”) porque lo único que se afirma es que si la condición es verdadera, también lo será la consecuencia. Si antecedente y consecuencia son falsos, ello tampoco contradice el condicional (“si no llueve, la calle no se moja”).

La lógica entonces, mediante estos mecanismos, permite establecer la verdad de las proposiciones complejas conociendo la de las simples. Pero la verdad de las proporciones atómicas -como por ejemplo, la verdad o falsead de “Juan es un campesino”-, no puede determinarse por medios lógicos, sino que sólo puede resolverse mediante la observación empírica.

Notas y referencias.

Introducción a la Lógica (Carlos Muños Gutierrez)

Lógica Conceptos fundamentales (Raúl Gutiérrez Sáenz)

Principios de Filosofía (Adolfo P. Carpio)

Puedes revisar:

La Verdad.

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