Noción de Lógica matemática y tablas de verdad.

matematicas

El lenguaje informativo está constituido por proposiciones o sentencias, vale decir, por estructuras de signos que tienen la propiedad de ser verdaderas o falsas.

Las proposiciones o sentencias se dividen en dos tipos: proposiciones fácticas (esto es, referentes a hechos) o empíricas, como “la mesa es verde” y proposiciones analíticas, que son tautologías (es decir, expresiones en las cuales el predicado dice lo mismo que el sujeto, o, en otros términos, que no pueden ser falsas) como “el triángulo es una figura de tres lados”. Estas proposiciones analíticas no dan ningún conocimiento nuevo, y su verdad no depende de los hechos, sino solamente de principios lógicos. Todas las proposiciones de la lógica y de la matemática son, según los empiristas lógicos (y gran cantidad de los lógicos modernos), proposiciones analíticas, y, por ende, tautológicas. Las proposiciones fácticas se fundan en la experiencia, en las sensaciones. Si las leyes de la lógica son independientes de la experiencia, es decir, a priori, ello es así porque no son más que tautológicas; la lógica, en rigor, no se refiere más que a la formación cómo funciona el lenguaje, o, dicho de otra manera, no es más que el conjunto de reglas sintácticas de un determinado lenguaje.

Por otro lado, las proposiciones se dividen en simples o atómicas -como “Juan es un campesino”, o bien “María viene de París”-, y en complejas o moleculares -por ejemplo “Juan es un campesino y María viene de París-, las segundas, pues, contienen términos que conectan a las proposiciones simples que las constituyen, y son siempre reductibles, en definitiva, a proposiciones atómicas. Los términos que enlazan unas proposiciones con otras se llaman conectivas. La verdad de la proposición molecular resultante puede determinarse en función de la verdad de sus componentes. Si consideramos como molecular la negación de una atómica, tendremos que, sí la proposición “Juan es un campesino” es verdadera, su negación, “Juan no es campesino”, resultará falsa, e inversamente. Simbolizando esta proposición mediante “p” y la negación mediante “-“, se podrá construir la siguiente tabla de verdad de esta conectiva:

p

-p

V

F

F

V

En la columna de la izquierda se han considerado todos los casos posibles, porque la proposición no puede ser sino verdadera (V) o falsa (F), a la derecha se señalan los correspondientes valores  de “-p”, es decir, la negación, de modo que si “p” es verdadera, “-p” tendrá que ser falsa, y si “p” es falsa, “-p” tendrá que ser verdadera. La tabla representa a la vez la definición de la conectiva.

Otra conectiva es la conjunción, es decir, en español, la “y”, que se simboliza con un punto: “.”. Aquí sólo puede haber verdad de la proposición molecular en el caso de que las dos (o más) proposiciones atómicas sean verdaderas; en todos los demás caso , aquélla será falsa. Considerando todas las conbinaciones posibles de los valores de “p” (“Juan es un campesino”) y de “q” (que aquí simbolizará a “María viene de París”), se tendrá la siguiente table de verdad de la conjunción:

p q p.q
V V V
F V F
V F F
F F F

La conectiva “o” tiene en español dos sentidos diferentes. Cuando se dice: “voy al cine o me quedo en casa”, es obvio que una cosa excluye a la otra; pero, en cambio, al decir: “compraré un reloj barato o pagadero en cien cuotas”, las dos son compatibles. Por tanto, se distingue la disyunción inclusiva -o lo uno o lo otro, o los dos- de la disyunción exclusiva -o lo uno o lo otro pero no los dos-. La disyunción inclusiva se simboliza con “∨” y su tabla de verdad es la siguiente:

p q p∨q
V V V
F V V
V F V
F F F

En cuanto a la disyunción exclusiva, simbolizada por “ω”, su tabla de verdad es:

p q q
V V F
F F V
V V V
F F F

Otra conectiva es el condicional, que se representa con  “→”. así, pq, lo cual se lee “si p, entonces q”, esto es, si “p” es verdadera, entonces también “q” es verdadera. Por ejemplo “Si llueve, la calle se moja” La tabla de verdad del condicional es la siguiente:

p q p→q
V V V
F V V
V F F
F F V

Se observará que sólo en el tercer caso el condicional es falso, esto es, cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, pues lo único que contradice al condicional es que, dada la condición, no se cumpla la consecuencia (en el ejemplo sería “llueve, la calle no se moja”). Si el antecedente es falso, la proposición compleja será verdadera (“si no llueve, la calle se moja”) porque lo único que se afirma es que si la condición es verdadera, también lo será la consecuencia. Si antecedente y consecuencia son falsos, ello tampoco contradice el condicional (“si no llueve, la calle no se moja”).

La lógica entonces, mediante estos mecanismos, permite establecer la verdad de las proposiciones complejas conociendo la de las simples. Pero la verdad de las proporciones atómicas -como por ejemplo, la verdad o falsead de “Juan es un campesino”-, no puede determinarse por medios lógicos, sino que sólo puede resolverse mediante la observación empírica.

Notas y referencias.

Introducción a la Lógica (Carlos Muños Gutierrez)

Lógica Conceptos fundamentales (Raúl Gutiérrez Sáenz)

Principios de Filosofía (Adolfo P. Carpio)

Puedes revisar:

La Verdad.

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Conclusiones de la naturaleza de Dios a partir de Santo Tomás de Aquino.

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Una vez que se sabe que Dios es o existe (según las cinco vías), corresponde preguntarse qué es, a la pregunta por su existencia sigue la pregunta por su naturaleza o esencia. De las cinco vías se desprenden los atributos principales de Dios y los elementos con los cuales puede determinarse su naturaleza: Dios es el primer motor inmóvil, causa primera, ente absolutamente necesario, ente perfecto e inteligencia suprema ordenadora del mundo. El examen y demostración detallados de la naturaleza de Dios se realiza según dos procedimientos o modos de conocer: por vía de negación y por vía de eminencia.

La vía de negación consiste en eliminar o descartar de la noción de Dios todo lo que sea incompatible, todo lo que suponga imperfección; de manera que así se determinan sus diferencias respecto de las criaturas, se muestra que Dios no es como ellas. Entonces resulta que Dios es simple, perfecto, bien supremo, infinito, omnipresente, inmutable y eterno. Este procedimiento negativo tiene su fundamento en la circunstancia de que todo nuestro conocimiento de Dios es siempre deficiente, y su ser siempre nos quedará oculto; y éste es el conocimiento supremo que podemos tener de Él en esta vida: que conozcamos que Dios está por encima de todo lo que pensamos acerca de Él.

En efecto, “acerca de El se nos manifiesta más lo que no es, que lo que es”. La simplicidad de Dios significa que, en tanto los otros entes son compuestos -de materia forma, de potencia y acto, de substancia y accidentes, de esencia y existencia-, Dios excluye toda composición. En efecto, la primera vía llego a la conclusión de que Dios es motor inmóvil, esto es, acto puro; es decir, que Dios no tiene potencia. Por tanto Dios es incorpóreo, puesto que el cuerpo, la materia, significa potencia. Ni tiene tampoco accidentes, porque los accidentes implican potencia. Y por último, y principalmente, en Dios no hay composición de esencia y existencia.

Las cinco vías vinieron a demostrar que, en tanto todos los demás entes en definitiva son ab alio, “por otro”, porque su ser o existir no lo tienen de por sí, Dios es a se, “por sí”, es decir, que es por esencia, que su esencia consiste en ser o existir; mientras que la esencia de todos los otros entes se distinguir de su ser o existir; (esse) -desde el momento en que pueden ser o no ser-, Dios en cambio es el ser o existir mismo (esse ipsum), el acto mismo de ser o existir (actus essendi) Una determinada silla, por ejemplo, es el compuesto de una esencia -la “sillidad”, digamos, los caracteres propios de toda silla en cuanto silla- y del hecho de existir, de estar efectivamente presente en el mundo de la experiencia. Pero en Dios no hay tal tipo de composición, sino que Él es su ser o existir mismos, porque de otro modo, si su esencia fuera diferente de su ser, esa esencia representaría la potencia respecto del existir, y se ha dicho que Dios es acto puro, no potencia.

Es preciso por consiguiente que el ser mismo tenga con la esencia que es diferente de él la misma relación que tiene el acto con la potencia. Mas como en Dios no hay nada potencia[…] se sigue que en Él la esencia no es nada diferente de su ser [o existir] (esse). Por consiguiente su esencia es su ser.

Al decir Santo Tomás que Dios es simple, no pretende proporcionar un concepto positivo de Dios, sino solamente -se trata de la vía negationis – negar en el Él cualquier tipo de composición, sea la que fuere. Y esto vale para todos los demás atributos. Así hablar de la perfección de Dios se trata de negar toda la imperfección. En efecto ,todo lo potencial es imperfecto; pero como Dios es acto puro, será absolutamente perfecto. Dios, que es el existir mismo según hemos dicho antes, es la perfección absoluta, no carece de nada. De ello se desprende que Dios es bondad, porque la bondad se funda en la perfección y algo absolutamente perfecto será absolutamente bueno.

Como la perfección excluye todo límite, de ella se derivará la infinitud divina. En efecto, infinito es lo que no tiene límites, en tanto que la finitud implica limitación, imperfección. Tanto la materia cuanto la forma, en los entes creados, son finitas: la materia esta limitada o determinada por la forma, que le impone un acto dado, un determinado modo de ser; y la forma esta limitada por la materia en que se manifiesta. Pero Dios es acto puro, simple acto de existir, no limitado por materia ni forma alguna.

Llegamos a la omnipresencia de Dios de la siguiente manera: las cinco vías han demostrado que el influjo de Dios llega a todas las cosas: a los móviles, por ser Él motor inmóvil; a los efectos, por ser causa primera, etc.

El ser es aquello que es lo más íntimo de cada cosa y lo que está más profundamente en todas las cosas […] de donde resulta necesario que Dios este en todas las cosas, e íntimamente.

Por ser acto puro sin potencia ninguna, Dios no puede cambiar (la primera vía había dicho que Dios es motor “inmóvil”), puesto que el cambio supone potencia; a Dios le corresponde por tanto la inmutabilidad -y a ella va unida la eternidad, es decir, la duración interminable -sin principio ni fin- que existe toda a la vez; la eternidad, había dicho Boecio, “es la posesión perfecta y toda a la vez de una vida interminable” (aeternitas est interminabilis vitae tota simul et perfecta possessio). El tiempo, por el contrario, sugiere cambio, la sucesión -el ahora, antes y el después- en cada uno de lo cuales lo que cambia es diferente. Pero Dios es inmutable, y por tanto, ajeno al tiempo; de Él se niega todo “antes” y todo “después”, pues carece de sucesión, es “todo a la vez”:

Como Dios es máximamente inmutable, a Él le compete máximamente ser eterno. Y no sólo es eterno, sino que es su eternidad; y en cambio ninguna otra cosa es su curación, porque no es su ser.

Todo lo establecido acerca de la naturaleza de Dios se expresó en forma negativa, porque el entendimiento humano no puede llegar a un concepto del puro ser o existir, en que Dios consiste; lo que se comprende son las esencias, no el existir mismo, y en los entes que conocemos su existir es el acto de una esencia en tanto que Dios es el existir subsistente mismo. El hombre extrae sus conocimientos del mundo sensible. Pero puesto que las cosas sensibles son efectos de Dios, es posible conocer a Dios indirectamente como causa de ellas, porque necesariamente tiene que haber cierta semejanza entre el efecto y la causa (por ello se demostró su existencia a partir de la existencia de las cosas sensibles). Siempre que no se olvide la distancia infinita que los separa, puede sentarse como principio general de la vía de eminencia (via eminentiae) el siguiente: todas las perfecciones que se encuentran en las criaturas tendrán que encontrase también en Dios, puesto que es la causa de todas ellas, sólo que en grado eminente, de manera infinitamente superior. Por ende, partiendo de las perfecciones que se encuentran en los entes creados, como la sabiduría, la bondad, la justicia, etc., se concluye que Dios es infinitamente sabio, infinitamente bueno, infinitamente justo, etc.

Este modo de hablar no es suficientemente exacto; porque podría pensarse que así como la sabiduría es una cualidad o accidente en un hombre determinado, la infinita sabiduría fuese una cualidad de Dios, como si Dios fuese un sujeto al que se le agregasen propiedades como la bondad, la justicia, etc.. Pero se demostró que Dios es simple. Por tanto hay que decir que Dios es su sabiduría, su bondad, etc., y de tal manera que las perfecciones que se encuentran como multiplicidad en los entes finitos, se encuentran en Dios constituyendo su ser simple.

Comprendemos muy bien la sabiduría como cualidad del sabio o la justicia como cualidad del justo; pero en cambio la razón humana no las comprende como constituyendo el ser mismo puro y simple. Por lo tanto, todos estos juicios -Dios es la sabiduria, Dios es la bondad, etc. -orientan “nuestro entendimiento a una mismo polo, cuya dirección nos es conocida, pero que, por estar en el infinito, nuestras fuerzas naturales no nos permiten alcanzarlo. Porque multiplicar las proposiciones afirmativas que lo designan no significa, en modo alguno, alcanzarlo.

De tal manera, a través de todo este trayecto -las vías para demostrar la existencia de Dios y las orientadas hacia el conocimiento de su naturaleza-, la razón humana se ha elevado desde los sensible a la causa primera, al existir mismo. Pero qué sea propiamente éste, el entendimiento humano no lo puede comprender. Puede decirse que así se cierra, como un circulo, el camino que recorre el pensador cristiano. En su esfuerzo por comprender la fe, recurrió a la razón, a la filosofía; y ésta se ve constreñida a afirmar la realidad de una causa primera, que no es sino Dios, el puro acto de ser en sí mismo. Mas este ser cuya existencia se ha demostrado, tiene un modo de ser, una naturaleza, que la razón apenas puede entrever , sólo desde infinita distancia y analíticamente, pero que no puede concebir. Y en este punto, una vez más, la razón debe ceder el lugar a la fe.

Notas y referencias.

Puedes leer los paisajes de la Suma teológica, por ejemplo, las cuestiones 1, 2 y 3 de la primera parte.

Le thomisme. Introduction á la philosophíe de Saint Thomas d’Aquin. (E.Gilson)

El pensamiento de Santo Tomás de Aquino (F.C.Copleston)

Boecio: filósofo Romano. Anicius Manlius Severinus Boëthius (Roma, c. 480 – Pavía, 524/525).

Relación de la Lógica con la Psicología, la Gramática y la Matemática.

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Así como la lógica es fundamental para la filosofía también se relaciona con otras ciencias como la Psicología, la Gramática y la Matemática.

Relación de la Lógica con la Psicología.

Las dos ciencias estudian los pensamientos, pero lo hacen desde distintos ángulos. La Psicología estudia los pensamientos desde el punto de vista de su origen y su desarrollo en la mente humana. La Psicología se basa en las observaciones realizadas acerca del funcionamiento normal y anormal de la mente. Esta ciencia es el resultado de una revisión acuciosa del modo como, de hecho, funciona la mente humana.

La Lógica es una ciencia de derecho mientras que la Psicología es una ciencia de hechos. Por esta razón el método de ambas ciencias es diferente, mientas que la lógica tiene un método racional, la Psicología tiene un método experimental. Se trata de una ciencia empírica, es decir, se basa en observaciones y experimentos.

La diferencia entre ellas esta dad por su objeto formal de estudio, aun cuando coinciden en el objeto material. Tienen un mismo objeto material: el pensamiento, pero se distinguen por el objeto formal. En lógica el objeto formal es el orden riguroso de los pensamientos, las tres formas mentales (concepto, proposición o juicio y razonamiento). En Psicología el objeto formal está en el proceso mental de los pensamientos. Este proceso se estudia en función de la observación sobre el hecho tal como se da, mientras que la lógica desciende de este proceso y tan sólo explica cuáles son las leyes que proporcionan un orden riguroso o nexo necesario a los pensamientos dados.

Relación de la Lógica con la Gramática.

Ambas ciencias tratan de las expresiones humanas, ambas hablan de sujetos y predicados. De nuevo podemos decir que ambas ciencias coinciden de alguna manera en cuanto a su objeto material. La diferencia la captamos cuando en el momento en que denotamos el objeto formal de ambas disciplinas.

A la Gramática le interesa la expresión correcta del pensamiento, proporciona ciertas reglas particulares propias de cada idioma. La Lógica enseña leyes que rigen a la mente de todo individuo, cualquiera que sea el idioma que utilice para expresarse, la Gramática enseña leyes que sólo son válidas para un idioma en particular.

La diferencia fundamental entre la Lógica y la Gramática esta en su objeto formal. A la Lógica le interesa el orden de los pensamientos, a la Gramática sólo le interesa la corrección del lenguaje utilizado. Cuando un individuo piensa tiene que regirse por las leyes de la Lógica, que son únicas para todos, pero en el momento en que expresa su pensamiento, debe seguir las reglas de su propio idioma.

Relación entre la Lógica y la Matemática.

La Lógica y la Matemática se asemejan en dos aspectos importantes. En primer lugar el tipo de signos que ambas utilizan. Además existe una semejanza mucho mas importante: ambas disciplinas se interesan por un raciocinio riguroso, preciso y sin equívocos.

La diferencia entre la Lógica y la Matemática es que la Lógica es el tratado que explica cuáles son las leyes que debe seguir la inteligencia humana cuando piensa, en cambio la Matemática es el resultado del ejercicio de esas funciones en el campo del espacio y el número. La Lógica es, por tanto, más amplia en su leyes, abarca a las matemáticas y a cualquier otra ciencia o tipo de pensamiento. La Matemática solamente funciona en el campo del espacio y el número.

Notas y referencias.

Lógica conceptos fundamentales (Raúl Gutiérrez Sáenz).

-La lógica de la ciencia. (F. Larroyo)

-Introducción a la argumentación filosófica (Silvia Solas, Carlos Oller y Luján Ferrer).